第一百三十八章 蛋糕(1/2)

这道题目看起来挺新颖的，其实不算难。

伊诚提笔作答：

首先从题目知道：

假设地主为集合c

那么c的牌数为10，可以写作集合c{c1、c2……c10}

a的集合为8，同样a{a1、a2……a8}

……

然后c和a都有一个顺子：

可以先设至少有c1+1=c2，c2+1=c3……

同样a1+1=a2、a2+1=a3……

b说他只有一个对子，并且b没有顺子。

可以设定b1=b2，并且没有连续5个数之间的差值互相为1.

又几个集合中的元素分别来自于1-13的两组数当中，它们之间是互斥的关系。

即黑桃1如果在a中出现，必然不会在b和c中出现。

……

伊诚一路写下来，发现这题是个体力活。

这道题难的不是前面的部分，而在于后面的博弈。

伊诚把前半部分写完。

然后再继续做拆分整理：

a可以拆分成两个集合：顺子集合和非顺子集合，

b拆分为对子集合和单牌集合，

c拆分为顺子集合和非顺集合，

由c先出牌。

那么就会存在集合c顺子比集合a顺子大或者小的两种情况……

然后大致可以得到几种模型：

……

伊诚一边做题一边摇着头。

可以用昨天狼人杀的纳什均衡来做处理，也可以用最笨的穷举法来做。

也就是说，这题注定拉不开分差了。

数量级并不大，其他人通过穷举，2个小时之内肯定能搞定。

哎。

难受啊难受。

伊诚在心底里叹息着。

最后根据不同的牌型，整理出对应的概率模型，并且分别讨论一番。

伊诚这题就算结束了。

ok。

21分到手。

但是这题计算量大，浪费了他差不多一个小时的时间。

……

伊诚继续前进，来到第三题。

【在生日派对上，有一群小伙伴，作为寿星得为他们切蛋糕，蛋糕得保证切得每一块都是同样体积同样奶油，这样才不会有小朋友不开心。

s是xy平面上的一个凸集。

凸集：实数r（或复数c上）向量空间中，集合s称为凸集，如果s中任两点的连线内的点都在集合s内。

对欧氏空间，直观上，凸集就是凸的。在一维空间中，凸集是单点或一条不间断的线（包括直线、射线、线段）；二、三维空间中的凸集就是直观上凸的图形。】

题目中特地对凸集做了解释。

蛋糕是明显的凸集，可以用肉眼就能看出来的。

伊诚对此没有任何疑问。

他继续往下审题——

【假设蛋糕的高度为;0，定义在xyz三维空间中一个点集c={（x，y，z）|（x，y，z∈s，且0小于等于z小于等于h）}

那么c为以s为基准的一个高度为h的蛋糕。

蛋糕的高度是一致的，假定c除了底面之外的其他表面均匀地涂上了奶油。

那么，讲一个平面s划分成k个集合，如果这k个集合的面积想通，且所占的原s的周边长度也相同，则称其为s的一个k完美划分。

如果它的所有划分线都是从一个点出发的线段，则称该划分为一个星状完美划分。

试证明：

任何一个平面凸集均存在3星状完美划分。】

卧槽，一个切蛋糕，你罗里吧嗦说这么多干嘛？

伊诚对出题人的语文水平表示怀疑。

他已经是lv2的文学学习水平，加上8期中国诗词大会擂主，他现在有资格吐槽。

简单来说，比如一个圆，在其中划分一个米字，变成6等分，那么这个米字型划分就被称为6星完美划分。

现在只需要证明的是不管任何形状，只要是凸集，就能3星完美划分。

伊诚开始在草稿上进行论证。

但是工作进行了半个小时，他突然发现——

你妹的这题看起来简单，实际上却非常难。

为什么呢？

因为在证明这个题目之前，需要连续证明7个引理。

这比刺杀雅典娜只差了5宫而已。

伊诚心想，你们就算是7个葫芦娃，老子也要把你们打死。

大娃是：

证明：对于凸集s，存在一个边的3等长划分：s1、s2、s3，满足s1、s2、s3围成的面积均小于s面积的1/3。

二娃：

证明：对于凸集s，s1、s2、s3是s的边的一个等长划分，那么s1、s2、s3所分别围成的面积中至多只有一个不小于s面积的1/3

……

七娃：如果将s的边划分成连续长度相同的三段，这三段分别包围的面积若都不超过s面积的1/3，那么命题得证——任何一个平面凸集均存在3星完美划分。

伊诚只觉得浑身燥热，大汗淋漓。

一路祭出各种法宝，终于把7个葫芦娃一一降服。

最后爷爷就是来送的。

他顺利收下了爷爷。

当他抬起头来的时候，时间已经到了11点半。

没有想到最后这道题这么耗时。

不愧是中国奥数竞赛的题目。

3道题目，就像是过了大半生一样。

卷面上，伊诚密密麻麻写满了字，包括草稿纸都写得满满当当的。

他做完题目，稍微用手按压着太阳穴，让大脑清醒一些。

过了两分钟，开始检查答案。

……

“嘤嘤嘤，孟老师，我对不起您。”

考完试之后，孟老师来接众人。

还没回酒店